Question

已知函數f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，，其中e是自然常數，其近似值為2.71828，a∈R。
（1）當a=1時，求函數f(x)的極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f(x)＞g(x)+；
（3）是否存在實數a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）f(x)=ax-lnx，，
∴當x∈(0，1)時，，此時f(x)單調遞減；
當x∈(1，e)時，，此時f(x)單調遞增，
∴f(x)的極小值為f（1）=1.
（2）f(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e]上的最小值為1， ∴f(x)＞0，，
令，，
當0＜x＜e時，，h(x)在(0，e]上單調遞增，
∴，
∴在（1）的條件下，。
（3）假設存在實數，使f(x)=ax-lnx（x∈(0，e]）有最小值3，，
①當a≤0時，f(x)在(0，e]上單調遞減，，（舍去），所以，此時f(x)無最小值；
②當時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，，，滿足條件；
③當時，f(x)在(0，e]上單調遞減，，（舍去），
所以，此時f(x)無最小值；
綜上，存在實數，使得當x∈(0，e]時，f(x)有最小值3。