Question

已知函數f（x）是區間D⊆[0，+∞）上的增函數，若f（x）可表示為f（x）=f₁（x）+f₂（x），且滿足下列條件：①f₁（x）是D上的增函數；②f₂（x）是D上的減函數；③函數f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數f（x）是區間D上的“偏增函數”．
（1）（i） 問函數y=sinx+cosx是否是區間上的“偏增函數”？并說明理由；
（ii）證明函數y=sinx是區間上的“偏增函數”．
（2）證明：對任意的一次函數f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區間D⊆[0，+∞），使f（x）為D上的“偏增函數”．

Answer 1

（1）解：（i） y=sinx+cosx是區間上的“偏增函數”．
記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，顯然f₁（x）=sinx在上單調遞增，f₂（x）=cosx在上單調遞減，
且f₂（x）=cosx∈（，1）⊆[0，+∞），
又在上單調遞增，
故y=sinx+cosx是區間上的“偏增函數”．
（ii）證明：，
記，
顯然在上單調遞增，f₂（x）=cosx在上單調遞減，
且f₂（x）=cosx∈（，1）⊆[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在上單調遞增，
故y=sinx是區間上的“偏增函數”．
（2）證明：①當b＞0時，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），顯然D=（0，b）⊆[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上單調遞增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上單調遞增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上單調遞減，
且對任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0時，必存在一個區間（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）為D上的“偏增函數．
②當b≤0時，取c＞0，且滿足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）⊆[0，+∞），
顯然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上單調遞增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上單調遞增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上單調遞減，
且對任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0時，必存在一個區間（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）為D上的“偏增函數”．
綜上，對任意的一次函數f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區間D⊆[0，+∞），
使f（x）為D上的“偏增函數”．
分析：（1）（i）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，根據偏增函數的定義及正余弦函數的性質可作出判斷；（ii）f（x）=（sinx-cosx）+cosx，記，根據偏增函數的定義可證明；
（2）分情況討論：①當b＞0時，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，取D=（0，b）；②當b≤0時，取c＞0，且滿足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c），根據偏增函數定義即可證明；
點評：本題考查函數的單調性、正余弦函數的性質，考查分類討論思想，考查學生靈活運用知識分析問題解決新問題的能力，綜合性強，難度大．