Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，m∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求m的值；
（2）當m=-2時，討論函數(shù)f（x）+x的單調(diào)性；
（3）在（2）的條件下，求證，對任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（1）由x=2是函數(shù)的一個極值點，可得到x=2是f′（x）=0的根，從而求出m；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），我們可以構造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，判斷g′（x）的符號，進而得到f（x）+x的單調(diào)區(qū)間；
（3）當 m=-2時，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即證明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
故我們可由（2）函數(shù)g（x）=f（x）+x的單調(diào)性，來證明結論．

解答：解：（1）∵函數(shù) f（x）在x=2處有極值∴f′（2）=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，經(jīng)檢驗m=-2符合題意．∴m=-2．
（2）當m=-2時，函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2lnx-3x（x＞0）．
令函數(shù)g（x）=f（x）+x，則
g′（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）由（2）知g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用，函數(shù)單調(diào)性的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．