Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，且過點，橢圓的右頂點為.

（Ⅰ）求橢圓的的標準方程；

（Ⅱ）已知過點的直線交橢圓于，兩點，且線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（1）由橢圓的離心率為，且過點，列方程組，求解，即可；

（2）依題意，直線過點，①當直線的斜率不為0時，可設(shè)其方程為，聯(lián)立消去得，由韋達定理、中點坐標公式，結(jié)合已知條件能求出直線的斜率的取值范圍，②當直線的斜率為0時，線段的中點與坐標原點重合，的斜率為0.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，，，，

解得，，，

故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）依題意，直線過點.①當直線的斜率不為0時，可設(shè)其方程為，

聯(lián)立消去得，

設(shè)點，，，直線的斜率為，

故，，

當時，，

當時，，因為 ，故，

當且僅當，即時等號成立.

故，故且.

②當直線的斜率為0時，線段的中點與坐標原點重合，的斜率為0.

綜上所述，直線的斜率的取值范圍為.