Question

(08年龍巖一中模擬)（14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

(Ⅲ)當時，設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，則是否存在點R，使C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行？如果存在，請求出R的橫坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（I）解：當時，

則，

的定義域為，令＝0 ，得                    ……… 2分

當時，，在上是單調(diào)遞增；

當時，，在上是單調(diào)遞減；

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

單調(diào)遞減區(qū)間為.                                 …………………………  4分

（II）b=2時，

則

因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以＜0有解.

即當x＞0時，則.          ………………………… 5分

①當a＝0時，為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，＞0在（0，+∞）總有解.

②當a＞0時，為開口向上的拋物線，＞0在（0，+∞）總有解.

③當a＜0時,為開口向下的拋物線,而＞0在（0，+∞）總有解.

則△=4+4a＞0，且方程=0至少有一個正根，此時，－1＜a＜0

綜上所述，a的取值范圍為（－1，+∞）                   ………………………… 9分

（III）證：設點P、Q的坐標是

則點M、N的橫坐標為

C₁點在M處的切線斜率為

C₂點N處的切線斜率為            ……………… 10分

假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂

即則

 

 .

設，則①                    …………………………  12分

令則

因為t>1時，，所以r(t)在上單調(diào)遞增.故

則.這與①矛盾，假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.    ………………………… 14分