Question

（08年龍巖一中模擬理）（14分）

已知函數(shù)，．

（1）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（2）對于給定的閉區(qū)間，試說明存在實(shí)數(shù) ，當(dāng)時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；

（3）證明：．

Answer 1

解析：(1)證明：由題設(shè)得

又由≥,且t＜得t＜，

即＞0　由此可知，為R上的增函數(shù)．           4分

(2)證法一：因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422104956007.gif' width=37 border=0>＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得

＜0，即t＞在閉區(qū)間[a,b]上成立即可．

因此y=在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在閉區(qū)[a,b]上有最大值，設(shè)其為k，t＞k時(shí), ＜0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)．     8分

 (3)證法一：設(shè)

易得≥．

令則易知

當(dāng)x＞0時(shí), ＞0;當(dāng)x＜0, ＜0　故當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，所以≥，于是對任意x、t，有≥，即≥．        14分

（2）證法二：因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422104956007.gif' width=37 border=0>＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t＞k時(shí)

＜0，在閉區(qū)間[a,b]上成立即可．

令則＜0()當(dāng)且僅當(dāng)＜0()．

而上式成立只需

即

成立．取與中較大者記為k，易知當(dāng)t＞k時(shí)，＜0在閉區(qū)[a,b]成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)．

（3）證法二：設(shè)=

≥，當(dāng)且僅當(dāng)≥0

只需證明

≤0，即≥1

以下同證法一．

證法三：設(shè)=，則

易得當(dāng)t＞時(shí), ＞0; t＜時(shí), ＜0，故當(dāng)t=取最小值即≥

以下同證法一．證法四:

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，易知點(diǎn)B在直線y=x上，令點(diǎn)A到直線y=離為d，則≥以下同證法一．