Question

 本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。

（1）選修4-2：矩陣與變換

已知向量=，變換T的矩陣為A=，平面上的點P（1，1）在變換T

作用下得到點P′（3，3），求A⁴.

（2）選修4-4：坐標系與參數方程

直線與圓（>0）相交于A、B兩點，設

P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求實數的值

（3）選修4-5：不等式選講

對于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，試求2+的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）選修4-2：矩陣與變換

本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力

法1：=     即    =2，

故A= .             ------------------------------------ 2分

由λ₁=－1，λ₂=3.

當λ₁=－1時，矩陣A的特征向量為=.

當λ₂=3時，矩陣A的特征向量為=. -----------------------------4分

故A⁴ =A⁴（+2）

=A⁴+2A⁴

=(－1)⁴ +2·3⁴

=.          ------------------------------------7分

法2：由=,

即       ，

故A=.             ------------------------------------2分

A²=，

A³=，

A⁴ ， ------------------------------------5分

A⁴=. -----------------------------------7分

（2）選修4-4：坐標系與參數方程

本題主要考查直線的參數方程，直線與圓的位置關系，考查運算求解能力.

法1：直線參數方程可化為：y=(x+1) --------------------------------1分

聯立方程   ，

消去，得：4+6+3－r=0 . ------------------------------------2分

設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（不妨設x₁<x₂），則

Δ=36－16（3－）>0 ， …………①

x₁+x₂=，             …………②

x_1·x₂=，               …………③-----------------------------------3分

，   …………④-----------------------------------5分

由①②③④解得=3.          -----------------------------------7分

法2：將直線參數方程代入圓方程得

t²－t+1－=0            -----------------------------------1分

設方程兩根為t₁、t₂，則

Δ=1－4（1－）>0   >.

t₁+t₂=1，t₁·t₂=1－ .…………（*）-----------------------------------3分

由參數t的幾何意義知

 或.    ---------------------------5分

由，解得=3，

由，代入（*）得=3，

故所求實數r的值為3.         -----------------------------------7分

（3）選修4-5：不等式選講

本題主要考查柯西不等式、絕對值不等式及其應用，考查推理論證與運算求解能力

解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|=1 , -------------2分

故²+²≤1.

(2+)² ≤(2²+1²)( ²+²) ≤5. ---------------------------------4分

由       ,

即取=，時等號成立. --------------------------------6分

故(2+)_max=.          -----------------------------------7分