Question

 已知是以點為圓心的圓上的動點，定點．點在上，點在上，且滿足．動點的軌跡為曲線。

   （Ⅰ）求曲線的方程；

   （Ⅱ）線段是曲線的長為的動弦，為坐標原點，求面積的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）

∴為的垂直平分線，∴,

又                     （2分）

∴動點的軌跡是以點為焦點的長軸為的橢圓．

∴軌跡E的方程為                                      （4分）

（Ⅱ） 解法一∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，

則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設，，則

，。                              （6分）

，

，，．　　                 （8分）

又點到直線的距離，

，　         （10分）

，．                                         （12分）

解法二：∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設，，則，        （8分）

，

                 （10分）

又點到直線的距離，。

設，則，，．  （12分）

（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標準給分）

評析：解析幾何中的軌跡問題一直是出題的重要方向，圓錐曲線不考察第二定義以后，由圓在內構造的軌跡問題成為主要的出題方向（容易構造），需要考生注意平時積累；直線與圓、圓錐曲線間的位置關系的判定、證明、求值能有效考察考生的運算能力；