Question

(14分)已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足．動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長(zhǎng)為的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）

∴為的垂直平分線，∴,

又    ………………………………3分

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸為的橢圓.

∴軌跡E的方程為………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

，               ………………………………………………………11分

.　　　　　　　　　　　　　　　……………………………………12分

又點(diǎn)到直線的距離，

　……………………………………………13分

，

.          　　　　　　　…………………………………………14分

解法二：∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

                 ………………………………………………………11分

又點(diǎn)到直線的距離，

設(shè)，則

，

.          ……………………………………………………14分

（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）