Question

一化工廠因排污趨向嚴重，2011年1月決定著手整治．經調研，該廠第一個月的污染度為60，整治后前四個月的污染度如下表；

月數	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13		…

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），g（x）=，h（x）=30|log₂x-2|（x≥1），其中x表示月數，f（x），g（x），h（x）分別表示污染度．（參考數據：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅰ）問選用哪個函數模擬比較合理，并說明理由；
（Ⅱ）如果環保部門要求該廠每月的排污度均不能超過60，若以比較合理的模擬函數預測，該廠最晚在何時開始進行再次整治？

Answer 1

【答案】分析：（1）通過計算f（1），f（2），f（3）；g（1），g（2），g（3）和h（1），h（2），h（3）的值，可知h（x）更接近表中的實際值，用h（x）模擬較為合理．
（2）由復合函數的單調性知，確定函數h（x）在x≥4上是增函數，且h（16）=60，故可得結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）=30                       …（3分）
f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈12.5                   …（6分）
由此可得h（x）更接近實際值，所以用h（x）模擬比較合理．…（7分）
（Ⅱ）因h（x）=30|log₂x-2|在x≥4上是增函數，又因為h（16）=60    …（12分）
這說明第一次整治后有16個月的污染度不超過60，
故應在2012年5月起開始再次整治．…（14分）
點評：本題考查了函數模型的選擇與應用問題，選擇函數模擬實際問題時，函數值越接近實際值，函數模擬效果越好．