Question

【題目】如下圖，過拋物線上一定點，作兩條直線分別交拋物線于，．

（1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點的距離；

（2）當與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線的斜率是非零常數．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)由拋物線定義可知拋物線上一點到焦點距離等于到準線距離，即可求出結果

(2)將點坐標代入拋物線方程，分別計算出直線與的斜率，由題意得傾斜角互補，則斜率互為相反數，即可計算出結果，然后計算出直線的斜率

（1）當時，，又拋物線的準線方程為，

由拋物線定義得，所求距離為.

（2）設直線的斜率為，直線的斜率為，

由，，相減得

，

故．

同理可得．

由、傾斜率角互補知，

即.

∴，故.

設直線的斜率為，由，，

相減得.

∴．

將代入得，

所以是非零常數．