Question

如圖，在直角坐標系xOy中，△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）為正三角形，A1(-

1

4

，0)，|AiAi+1|=2i-1(i=1，2，3，…，n，…)．
（1）求證：點B₁，B₂，…，B_n，…在同一條拋物線上，并求該拋物線C的方程；
（2）設直線l過坐標原點O，點B₁關于l的對稱點B′在y軸上，求直線l的方程；
（3）直線m過（1）中拋物線C的焦點F并交C于M、N，若

MF

=λ

FN

(λ＞0)，拋物線C的準線n與x軸交于E，求證：

EF

與

EM

-λ

EN

的夾角為定值．

Answer 1

分析：（1）設B_n（x，y），先根據圖形中三角形求得其坐標x，y，消去n得到x，y的關系，是一個拋物線方程，從而證得點B₁，B₂，…，B_n，…在同一條拋物線上；
（2）由（1）得出B1的坐標，從而寫出線段OB1的長度，再結合對稱性求得對稱點的坐標，最后根據直線的兩點式方程寫出直線方程即可；
（3）先設M，N在直線n上的射影為M'，N'，利用向量的運算證得向量：

EF

與

EM

-λ

EN

互相垂直，從而得出：

EF

與

EM

-λ

EN

的夾角為定值．

解答：解：（1）設B_n（x，y），則

x=- 1 4 +1+3+∧+(2n-3)+ 2n-1 2 =(n- 1 2 )2 y= 3 2 (2n-1) ， 消去n得y2=3x. 所以點B1，B2，∧，Bn，∧在同一條拋物線y2=3x上．(5分)

（2）由（1）得B1(

1

4

，

3

2

)，所以|OB1|=

13

4

，

因為OB′與點OB1關于直線l對稱，則B′(0，± 13 4 ) ∴所求直線方程為y=(2 3 ± 13 )x(5分)

（3）設M，N在直線n上的射影為M'，N'，
則有：

EM

=

EM′

+

M′M

，

EN

=

EN′

+

N′N

．

由于 MM′ =λ N • N ′ 所以 EM -λ EN = EM′ -λ EN′ 因為 EF ⊥( EM′ -λ EN′ )，所以 EF ⊥( EM -λ EN ). 所以 EF 與 EM -λ EN 的夾角為90°(定值)．(5分)

點評：本小題主要考查拋物線的定義、向量在幾何中的應用、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．