Question

空間四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=，BC=CD=a，AB=AD=a，A在面BCD上的射影為A₁，若AA₁中點為M，BC中點為N，過A、B、C、D四點的球的球心為O，直線MN與球面交于P、Q兩點，則∠POQ=_____________.

Answer 1

答案：arccos()  【解析】本題考查空間關系的論證及運算，綜合性較高；

如圖：A點在底面BCD的射影A₁如圖所示且球心為AC的中點，易得OM=A₁C=BD=a，又在直角三角形OGN中，OG=，NG=，故NO=，同理可在直角三角形MA₁N中求得MN=,在三角形OMN中可求出球心到MN的距離為a，由MN與球交于兩點P、Q，故在三角形OPQ中由已知可得到球的半徑為OP=OQ=a，球心到PQ的距離為a，故PQ=a，在三角形OPQ中利用余弦定理即得：

cos∠POQ=∠POQ=arccos()．