Question

有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？
（1）甲不在中間也不在兩端；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端；
（3）男、女生分別排在一起；
（4）男女相間；
（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．

Answer 1

【答案】分析：（1）這是一個排列問題，一般情況下，我們會從受到限制的特殊元素開始考慮，先排甲有6種，剩下的8個元素全排列有A₈⁸種，根據分步計數原理得到結果．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根據分步計數原理得到結果．
（3）把男生和女生分別看成一個元素，兩個元素進行排列，男生和女生內部還有一個全排列，
（4）先排4名男生有A₄⁴種方法，再將5名女生插在男生形成的5個空上有A₅⁵種方法，根據分步計數原理得到結果．
（5）9人共有A₉⁹種排法，其中甲、乙、丙三人有A₃³種排法，因而在A₉⁹種排法中每A₃³種對應一種符合條件的排法，類似于平均分組．
解答：解：（1）先排甲有6種，
其余有A₈⁸種，
∴共有6•A₈⁸=241920種排法．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，
共有A₂²•A₇⁷=10080種排法．
（3）把男生和女生分別看成一個元素，
男生和女生內部還有一個全排列，
A₂²•A₄⁴•A₅⁵=5760種．
（4）先排4名男生有A₄⁴種方法，
再將5名女生插在男生形成的5個空上有A₅⁵種方法，
故共有A₄⁴•A₅⁵=2880種排法．
（5）9人共有A₉⁹種排法，
其中甲、乙、丙三人有A₃³種排法，
因而在A₉⁹種排法中每A₃³種對應一種符合條件的排法，
故共有=60480種排法．
點評：本題集排列多種類型于一題，充分體現了元素分析法（優先考慮特殊元素）、位置分析法（優先考慮特殊位置）、直接法、間接法（排除法）、捆綁法、等機會法、插空法等常見的解題思路．