Question

在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為有理數的點稱為有理點．試根據這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經過點M（，1），則此直線不能經過兩個有理點．

Answer 1

證明：假設此直線上有兩個有理點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數，則有y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，兩式相減，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∵斜率k存在，∴x₁≠x₂，得．
而有理數經過四則運算后還是有理數，
故k為有理數．
又由y₁=kx₁+b知，b也是有理數．
又∵點M（，1）在此直線上，∴，于是有（k≠0）．此式左端為無理數，右端為有理數，顯然矛盾，故此直線不能經過兩個有理點．
分析：假設此直線上有兩個有理點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數，?y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，兩式相減，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．由斜率k存在??k為有理數．?也是有理數．再由點M（，1）在此直線上?（k≠0）．?矛盾，得到結論．
點評：本題主要通過反證法來數的性質和數的運算．