Question

設無窮數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n（n∈N^*），且點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0上（t為與n無關的正實數）．
（1）求證：數列{a_n}（n∈N^*）為等比數列；
（2）記數列{a_n}的公比為f（t），數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

）（n∈N^*，n≥2），
設c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）（理）若（1）中無窮等比數列{a_n}（n∈N^*）的各項和存在，記S（t）=a₁+a₂+…+a_n+…，求函數S（t）的值域．

Answer 1

考點：數列的應用,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）根據點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0（t為與n無關的正實數）上，可得（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，再寫一式，兩式相減，化簡即可證明數列{a_n}（n∈N^*）為等比數列；
（2）確定數列{b_n}是公差d=

2

3

的等差數列，再根據c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，即可求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）先確定t的范圍，再利用無窮等比數列的求和公式，即可求函數S（t）的值域．

解答： （1）證明：因為點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0（t為與n無關的正實數）上，
所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，
即有3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n∈N^*，n≥2）．
當n=2時，3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t．
由a₁=1，解得a₂=

2t+3

3t

，
所以

a2

a1

=

2t+3

3t

，
當n≥2時，有3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t①
3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t②
①-②，得 3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
整理得

an+1

an

=

2t+3

3t

．
所以數列{a_n}是公比為

2t+3

3t

的等比數列；…（4分）
（2）解：由（1）知，f（t）=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，則b_n=f（

1

bn-1

）=b_n-1+

2

3

，
于是數列{b_n}是公差d=

2

3

的等差數列，即b_n=

2

3

n+

1

3

，…（7分）
則T_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）=-

8

9

n2-

4

3

n…（10分）
（3）解：（理）由0＜

2t+3

3t

＜1解得：t＞3．…（12分）
所以S=

a1

1-q

=

3t

t-3

=3+

9

t-3

＞3
所以函數S（t）的值域為（3，+∞）．…（16分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列、等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．