Question

考慮坐標平面上以O（0，0），A（3，0），B（0，4）為頂點的三角形，令C₁，C₂分別為△OAB的外接圓、內切圓．請問下列哪些選項是正確的？
（1）C₁的半徑為2
（2）C₁的圓心在直線y=x上
（3）C₁的圓心在直線4x+3y=12上
（4）C₂的圓心在直線y=x上
（5）C₂的圓心在直線4x+3y=6上．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，根據直角三角形的外接圓的圓心為斜邊的中點，即斜邊為外接圓的直徑，利用兩點間的距離公式求出|AB|，除以2即可得到C₁的半徑，判斷出選項（1）是錯誤的；
根據中點坐標公式求出線段AB的中點坐標即為外接圓的圓心坐標，即為C₁的圓心，代入y=x與4x+3y=12即可判斷C₁的圓心在直線4x+3y=12上，不在y=x上，即選項（2）錯誤，選項（3）正確；
如圖點P為三角形內切圓的圓心，作出點P到三角形三邊的距離都為內切圓的半徑r，把三角形AOB的面積分為三個三角形，根據三角形的面積公式即可列出關于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，進而得到點P的坐標，判斷出點P不在直線4x+3y=6上，在直線y=x上，即可得到選項（4）正確，（5）錯誤．
解答：解：O，A，B三點的位置如右圖所示，C₁，C₂為△OAB的外接圓與內切圓，
∵△OAB為直角三角形，
∴C₁為以線段AB為直徑的圓，故半徑為，
所以（1）選項錯誤；
又C₁的圓心為線段AB的中點，此點在直線4x+3y=12上，
所以選項（2）錯誤，選項（3）正確；
如圖，P為△OAB的內切圓C₂的圓心，
故P到△OAB的三邊距離相等均為圓C₂的半徑r．
連接PA，PB，PC，可得：S_△OAB=S_△POA+S_△PAB+S_△POB

故P的坐標為（1，1），此點在y=x上．
所以選項（4）正確，選項（5）錯誤，
綜上，正確的選項有（3）、（4）．
點評：此題考查學生掌握直角三角形的外接圓與內切圓的性質，靈活運用中點坐標公式及及兩點間的距離公式化簡求值，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．