Question

考慮坐標(biāo)平面上以O(shè)（0，0），A（3，0），B（0，4）為頂點(diǎn)的三角形，令C₁，C₂分別為△OAB的外接圓、內(nèi)切圓．請問下列哪些選項(xiàng)是正確的？
（1）C₁的半徑為2
（2）C₁的圓心在直線y=x上
（3）C₁的圓心在直線4x+3y=12上
（4）C₂的圓心在直線y=x上
（5）C₂的圓心在直線4x+3y=6上．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，即斜邊為外接圓的直徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AB|，除以2即可得到C₁的半徑，判斷出選項(xiàng)（1）是錯誤的；
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)即為外接圓的圓心坐標(biāo)，即為C₁的圓心，代入y=x與4x+3y=12即可判斷C₁的圓心在直線4x+3y=12上，不在y=x上，即選項(xiàng)（2）錯誤，選項(xiàng)（3）正確；
如圖點(diǎn)P為三角形內(nèi)切圓的圓心，作出點(diǎn)P到三角形三邊的距離都為內(nèi)切圓的半徑r，把三角形AOB的面積分為三個三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，判斷出點(diǎn)P不在直線4x+3y=6上，在直線y=x上，即可得到選項(xiàng)（4）正確，（5）錯誤．

解答：解：O，A，B三點(diǎn)的位置如右圖所示，C₁，C₂為△OAB的外接圓與內(nèi)切圓，
∵△OAB為直角三角形，
∴C₁為以線段AB為直徑的圓，故半徑為

1

2

|AB|=

5

2

，
所以（1）選項(xiàng)錯誤；
又C₁的圓心為線段AB的中點(diǎn)(

3

2

，2)，此點(diǎn)在直線4x+3y=12上，
所以選項(xiàng)（2）錯誤，選項(xiàng)（3）正確；
如圖，P為△OAB的內(nèi)切圓C₂的圓心，
故P到△OAB的三邊距離相等均為圓C₂的半徑r．
連接PA，PB，PC，可得：S_△OAB=S_△POA+S_△PAB+S_△POB
?

1

2

×3×4=

1

2

×3×r+

1

2

×5×r+

1

2

×4×r?r=1
故P的坐標(biāo)為（1，1），此點(diǎn)在y=x上．
所以選項(xiàng)（4）正確，選項(xiàng)（5）錯誤，
綜上，正確的選項(xiàng)有（3）、（4）．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓的性質(zhì)，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．