Question

已知(

x

+

1

2 4 x

)n展開式的前三項系數成等差數列．則（1）n=

8

；（2）展開式的一次項是

35x

8

；（3）展開式中的有理項是

x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2

．

Answer 1

分析：首先利用二項展開式的前三項系數成等差數列，由等差數列的特性列出關于n的方程，求出n的值，然后寫出通項公式并進行化簡，令字母的指數符合所需要的條件，從而確定特定項．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展開式的前三項系數成等差數列，
∴

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

×

1

2

，
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=

C

r 8

(

x

)8-r×(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3

4

r，
∴令4-

3

4

r=1得r=4．
∴T₅=(

1

2

)4

C

4 8

x=

1

16

×

8×7×6×5

4×3×2×1

x=

35

8

x，
∴展開式的一次項是

35

8

x．
（3）當令4-

3

4

r∈Z時，T_r+1為有理項，因為0≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理項有3項，分別是T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
故答案為（1）8；（2）

35

8

x；（3）x⁴，

35

8

x，

1

256

x^-2．

點評：本題考查二項式定理的應用，考查等差數列的性質，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．