Question

（2009•黃岡模擬）已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，則下列結論正確的是（　　）

A．展開式中共有八項

B．展開式中共有四項為有理項

C．展開式中沒有常數項

D．展開式中共有五項為無理項

Answer 1

分析：由題意通過前三項系數的絕對值依次成等差數列，求出n的值，然后判斷二項式的項數，有沒有有理項，常數項，是否存在展開式中共有五項為無理項，得到結果．

解答：解：已知(

x

-

1

2 4 x

) n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，
所以

C

0 n

+

C

2 n

 2-2=2

C

1 n

×

1

2

，解得n=8，
展開式中共有九項，A不正確；
展開式的第k+1項為C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
若第k+1項為常數項，
當且僅當

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數項．C正確；
若第k+1項為有理項，當且僅當

16-3k

4

為整數，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項共有三項，它們是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．所以展開式中共有四項為有理項，不正確．
展開式中共有五項為無理項．顯然不正確．
故選C．

點評：本題是中檔題，考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，考查計算能力，常考題型．