Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，若△ABF₂是正三角形，試求該雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：利用直角三角形中含30°角所對的邊的性質及其雙曲線的定義、勾股定理即可得到a，c的關系．

解答：解：由△ABF₂是正三角形，則在Rt△AF₁F₂中，有∠AF₂F₁=30°，
∴|AF1|=

1

2

|AF2|，又|AF₂|-|AF₁|=2a．
∴AF₂=4a，AF₁=2a，又F₁F₂=2c，
又在Rt△AF₁F₂中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a²+4c²=16a²，∴

c2

a2

=3．
∴e=

c

a

=

3

．

點評：熟練掌握直角三角形中含30°角所對的邊的性質及其雙曲線的定義、勾股定理、離心率的計算公式等事件他的關鍵．