Question

某校高三師生為“慶元旦迎新年”舉行了一次聯歡晚會，高三年級8個班每班各準備了一個節目，且節目單已排好，節目開演前又增加了3個教師節目，其中有2個獨唱節目，1個朗誦節目，如果將這3個節目插入原節目單中，要求教師的節目不排在第一個和最后一個，并且教師的2個獨唱節目不連續演出，那么不同的排法有

1. A.
   294種
2. B.
   308種
3. C.
   378種
4. D.
   392種

Answer 1

D
分析：根據題意，分析可得學生共8個節目，可以選用的空位有7個，先在7個可用的空位中，任取2個安排2個獨唱節目，有排列數公式可得其情況數目，進而可得此時共10個節目，有9個空位可用，從中選1個安排朗誦節目即可，由分步計數原理，計算可得答案．
解答：根據題意，學生共8個節目，排好后，除去兩端，中間共有7個空位，
分兩種情況討論，
①教師節目不相鄰：
在7個可用的空位中，任取2個，安排2個獨唱節目，有A₇²=42種情況，
此時共10個節目，除去兩端，中間共有9個空位，選1個安排朗誦節目，有9種情況；
則有42×9=378種不同的排法；
②，若教師節目相鄰，則必須是獨唱、朗誦、獨唱的順序，
可在7個空位中選1個，再考慮兩個獨唱節目的順序，
共有7×A₂²=14種情況，
共有378+14=392種不同排法；
故選D．
點評：本題考查排列、組合的應用，易錯點為不理解題意，將三個教師節目，直接用插空法插入學生節目中，得到A₇³的錯誤答案．