Question

已知直線l上有兩定點A、B，線段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求AB與CD間的距離．

Answer 1

分析：解法一：在面ABC內過B作BE⊥l于B，且BE=AC把ABEC構造成一個矩形，因為AB∥CE且平面ABEC與平面BCE交于直線EC∴AB∥平面CDE．則AB與CD的距離即為B到DE的距離，過B作BF⊥DE于F，在直角三角形BDF中，∠DBF=

1

2

×120^°=60^°，所以∠BDF=30°．根據在直角三角形中，30^°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BF即可．
解法二；建立坐標系，則分別表示A，C，D，AB與CD的公垂線的方向向量

n

，利用

n

•

AB

為零，

n

•

CD

為零，求出

n

，即求出d．

解答：解法一：在面ABC內過B作BE⊥l于B，且BE=AC，則ABEC為矩形．
∴AB∥CE．
∴AB∥平面CDE．
則AB與CD的距離即為B到DE的距離．
過B作BF⊥DE于F，易求BF=

1

2

a．
解法二：建系如圖，
則A（0，0，b），C（-

1

2

a，

3

2

a，a），D（a，0，0），
設AB與CD的公垂線的一個方向向量

n

=（x，y，z），
利用

n

•

AB

=0，

n

•

CD

=0，
求出

n

，則d=

|n• BD |

|n|

=

1

2

a．

點評：考查（1）要求異面直線的距離，利用平移直線的方法轉化成點到線的距離．體現空間問題轉化為平面問題的數學思想．
（2）構造坐標系，在坐標系中會表示一個向量，會利用

a

與

b

垂直?

a

•

b

=0．