Question

周長為2的直角三角形的面積的最大值為

3-2

2

．

Answer 1

分析：設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=

a2+b2

，兩次運用均值不等式即可求解．

解答：解：設直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S=

1

2

ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+

a2+b2

=2，
∴2=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

，
∴

ab

≤

2

2+ 2

=2-

2

，∴ab≤（2-

2

）²=6-4

2

，
∴S=

1

2

ab≤3-2

2

，當且僅當a=b=2-

2

時，S取最大值3-2

2

．
故答案為：3-2

2

．

點評：利用均值不等式解決實際問題時，列出有關量的函數關系式或方程式是均值不等式求解或轉化的關鍵．