Question

已知x，y∈R，且滿足2x²+y²=6x，那么x²+y²+2x的最大值為

15

．

Answer 1

分析：直接由2x²+y²=6x代入x²+y²+2x，通過二次函數的最值，求出它的最大值．

解答：解：2x²+y²=6x化為y²=6x-2x²，y∈[0，

9

2

]，x∈[0，3]，
所以x²+y²+2x=8x-x²，
二次函數開口向下，當x=4時表達式取得最大值，因為4∉[0，3]，
所以表達式在x∈[0，3]上是增函數，
所以x=3時此時y=0，表達式取得最大值：3²+0²+2×3=15．
故答案為：15．

點評：本題是中檔題，考查曲線與方程的關系，直接利用圓錐曲線解答比較麻煩，利用轉化思想使本題的解答比較簡潔，注意二次函數閉區間是的最大值的求法．