Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項和為S_n，且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N*．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）設b_n=

1

2Sn

，Tn=b1+b2+…+bn，求證：T_n＜1；
（3）設c_n=n•2^a_n，M_n=c₁+c₂+…+c_n，求M_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即等差數列的定義即可得出；
（2）利用等差數列的前n項和公式及“裂項求和”即可得出；
（3）利用“錯位相減法”及其等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：（1）證明：∵Sn=

an(an+1)

2

，n∈N*，n=1時，a1=S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1或a₁=0又a_n＞0，∴a₁=1．
由

2Sn= a 2 n +an，n∈N* 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1，n≥2

，得2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列；
（2）證明：由（1）知an=n，Sn=

n(n+1)

2

，∴bn=

1

2Sn

=

1

n(n+1)

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
（3）cn=n•2n，∴Mn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，…①
∴2M_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹…②
由①-②得-Mn=2+22+23+…2n-n•2n+1=

2-2n+1

1-2

-n•2n+1=(1-n)2n+1-2，
∴Mn=(n-1)•2n+1+2．

點評：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求a_n、等差數列的定義、等差數列的前n項和公式及“裂項求和”、“錯位相減法”及其等比數列的前n項和公式等是解題的關鍵．