Question

已知函數為奇函數，f（1）=-3，且對任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立．
（1）求b的值；
（2）求證f（2）=0，并求f（x）解析式；
（3）若對任意t∈（1，2]，恒有f（tm）+f（-m-1-t²）＜0，求正數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數的性質，我們易根據f（-x）=-f（x）恒成立，構造方程，解方程即可求出求b的值；
（2）由對任意x∈[π，2π]，f（sinx-1）≥0恒成立，f（cosx+3）≥0恒成立我們可得f（-2）≥0且f（2）≥0結合奇函數的性質，即可得到f（2）=0，結合已知中f（1）=-3，構造方程組，解方程組即可得到f（x）解析式；
（3）根據（2）中的解析式，我們易判斷在（0，+∞）是增函數，根據奇函數的性質，我們可將不等式f（tm）+f（-m-1-t²）＜0恒成立，轉化為一個函數恒成立問題，進而得到正數m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即恒成立，
可得b=0（2分）
（2）∵π≤x≤2π，
∴-1≤sinx≤0，-1≤cosx≤1，
∴-2≤sinx-1≤-1，2≤cosx+3≤4
又∵f（sinx-1）≥0，f（cosx+3）≥0恒成立，
∴f（-2）≥0且f（2）≥0，
∵f（x）是奇函數，
∴由f（-2）≥0可得f（2）≤0，
∴f（2）=0（6分）
∴由，及，得c=-4，a=1，
∴（8分）
（3）∵f（x）是奇函數得f（tm）＜f（t²+m+1），
又∵在（0，+∞）是增函數，m＞0，t＞0，
∴tm＞0，m+1+t²＞0∴tm＜t²+m+1，∴（t-1）m＜t²+1，（10分）
∵t∈（1，2]∴t-1＞0，
∴在t∈（1，2]上恒成立
設k=t-1，則k∈（0，1]且t²+1=k²++2k+2，設，
則g（k）在k∈（0，1]上單調遞減，
∴g（k）_min=g（1）=5，∴m＜5，
又m＞0，所以0＜m＜5（12分）
點評：本題的知識點是抽象函數及其應用，函數的單調性及奇偶性的綜合應用，其中根據已知利用方程和函數的思想，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．