Question

已知函數為奇函數，f（1）＜f（3），且不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在實數m使不等式對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數為奇函數，則f（-x）=-f（x），構造方程可得b值，由不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]，根據±2均為不等式的解，可得c值，根據f（1）＜f（3），結合函數單調性，及不等式解集的端點是對應方程的根，求出a值．
（2）根據（1）中函數的單調性，結合奇函數在對稱區(qū)間上單調性相同，可得f（x）在（-∞，0）上也是增函數，將不等式恒成立轉化為函數的最值問題后，構造關于m的不等式，可得答案．
解答：解：（1）∵，
∴．…（1分）
不等式的解集中包含2和-2，
∴f（2）≥0，f（-2）=-f（2）≥0，
即得，所以c=-4…（2分）
∵，
∴．…（3分）
當a＞0時，在（0，+∞）上是增函數
在（0，+∞）內任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么
即…（5分）．
綜上所述：…（6分）
（2）∵，
∴在（-∞，0）上也是增函數．…（7分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，
∴，
而，
所以，m為任意實數時，不等式…（12分）
點評：本題是函數奇偶性，單調性，函數恒成立問題及不等式方程函數關系的綜合應用，其中根據已知求出函數的解析式難度比較大，也是解答本題的關鍵．