Question

已知（x²+1）ⁿ展開式中的各項系數之和等于（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開式的常數項．求（x²+1）ⁿ展開式中二項式系數最大項．

Answer 1

分析：由題意可得（x²+1）ⁿ展開式中的各項系數之和為2ⁿ，（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開式的常數項為16，可得n值，進而可得（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，由二項式系數的特點易得答案．

解答：解：把x=1代入可得（x²+1）ⁿ展開式中的各項系數之和為2ⁿ，
而（

16

5

x2+

1

x

）⁵展開式的通項為T_k+1=

C

k 5

(

16

5

x2)5-k(

1

x

)k=

C

k 5

(

16

5

)5-kx10-

5k

2

，
令10-

5k

2

=0，可得k=4，故常數項為T₅=16，
由題意可得2ⁿ=16，故n=4，
故（x²+1）ⁿ=（x²+1）⁴，展開式共5項，
故二項式系數最大項為第3項，為

C

3 4

(x2)2•12=4x⁴

點評：本題考查二項式定理的應用，涉及二項展開式的通項和二項式系數，屬中檔題．