Question

某校從高一年級學生a隨機抽取40名學生，將他們的期a考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如s所示的頻率分布直方s．
（1）求sa實數a的值；
（2）若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級期a考試數學成績不低于60分的人數；
（3）若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生a隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

（1）由于5中所有小矩形的面積之和等于1，
所以1t×（t.tt四+t.t1+t.t2+a+t.t2四+t.t1）=1．…（1分）
解得a=t.t3．…（2分）
（2）根據頻率分布直方5，成績不低于6t分的頻率為1-1t×（t.tt四+t.t1）=t.8四．…（3分）
由于該校高一年級共有學生64t人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于6t分的人數約為64t×t.8四=四44人．…（四分）
（3）成績在[4t，四t）分數段內的人數為4t×t.t四=2人，分別記為A，B．…（6分）
成績在[9t，1tt]分數段內的人數為4t×t.1=4人，分別記為C，D，E，F．…（7分）
若從數學成績在[4t，四t）與[9t，1tt]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共1四種．…（9分）
如果兩名學生的數學成績都在[4t，四t）分數段內或都在[9t，1tt]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于1t．如果一個成績在[4t，四t）分數段內，另一個成績在[9t，1tt]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于1t．
記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于1t”為事件M，則事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7種．…（11分）
所以所求概率為P(M)=

7

1四

．…（12分）