Question

設：P：方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的正根，Q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0無實根，求使P或Q為真，P且Q為假的實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程根的個數與△的關系，及韋達定理，我們構造關于m的不等式組，解不等式組可以求出命題P為真時，實數m的取值范圍，及命題Q為真時，實數m的取值范圍，再由P或Q為真，P且Q為假，由復合命題真假判斷的真值表，可判斷出命題P與命題Q必一真一假，分別討論P真Q假和P假Q真時，實數m的取值范圍，最后綜合討論結果，即可得到答案．
解答：解：若命題P：方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的正根為真，
則
解得m＜-1
若命題Q：方程x²+2（m-2）x-3m+10=0無實根為真，
則△=4（m-2）²+12m-40=4（m²-m-6）＜0
解得-2＜m＜3
∵P或Q為真，P且Q為假
∴命題P與命題Q必一真一假
若P真Q假，則m≤-2
若P假Q真，則-1≤m＜3
綜上，實數m的取值范圍為m≤-2，或-1≤m＜3
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題真假判斷的真值表，一元二次方程根的個數及判斷方法，其中根據一元二次方程根的個數與△的關系，及韋達定理，構造關于m的不等式（組），求出命題P與命題P為真時，實數m的取值范圍，是解答本題的關鍵．