Question

【題目】已知函數，，為的導函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，當時，求證:有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結合函數的導數與單調性的關系，對進行分類討論，分為，，，幾種情形，即可求出函數的單調性；

（2）結合（1）中的結果可得的單調性，易得1為函數一個零點，結合函數的單調性及函數的零點判定定理可求.

（1）

①當時，令，得，令，得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

②當時，令，得，，

i）當時，，所以在上單調遞增；

ii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調遞增，在單調遞減；

iii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調遞增，在單調遞減；

綜上：①當時，在上單調遞增；在單調遞減；

②i）當時，在上單調遞增；

ii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；

iii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；

（2）當時，在與單調遞增，在單調遞減，

所以在與單調遞增，在單調遞減，

因為，所以是函數的一個零點，且，

當時，取且，

則，

所以，所以在恰有一個零點，

所以在區間有兩個零點.