Question

10．已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1（n∈N*）．
（1）若{a_n}是等差數列，且b₃=12，求a的值及{a_n}的通項公式；
（2）當{b_n}是公比為a-1的等比數列時，{a_n}能否為等比數列？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12，從而d=1或d=-$\frac{11}{6}$，再由a=a₁+d=1+d＞0，得d=1，由此能求出a的值及{a_n}的通項公式．
（2）推導出$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=a-1，從而a₃=a-1，假設{a_n}為等比數列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，從而a²=a-1，此方程無解，從而得到數列{a_n}一定不為等比數列．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na _n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=-$\frac{11}{6}$，
又∵a=a₁+d=1+d＞0，得d＞-1
∴d=1，a=2，
∴a_n=n．
（2）{a_n}不能為等比數列，理由如下：
∵b_n=a_na _n+1，{b_n}是公比為a-1的等比數列
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=a-1，
∴a₃=a-1
假設{a_n}為等比數列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，
∴a²=a-1，∴此方程無解，
∴數列{a_n}一定不為等比數列．

點評 本題考查實數值的求法，考查數列的通項公式的求法，考查數列是否為等比數列的判斷與證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．