Question

（本題滿分12分）如圖，已知是底面邊長為1的正四棱柱，
（1）證明：平面平面
（2）當(dāng)二面角的平面角為120°時，求四棱錐的體積。

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要是考查了同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力，以及計算能力的綜合運用。對于面面垂直的判定定理的運用和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的靈活運用，是解決該試題的關(guān)鍵，同時也考查了二面角的求解問題，以及錐體的體積的問題的運用。
（1）要證明面面垂直，先分析線面垂直然后利用面面垂直的判定定理求證。
（2）根據(jù)二面角的大小，確定出錐體中邊的問題，以及線面的位置關(guān)系，再結(jié)合錐體的體積公式求解。
證明：

（1）平面，平面--------------（1分）
，又----------------------------------（2分）
--------------------------------------------------（3分）
又平面
---------------------------------------------（5分）
（2）方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么
；；；；------（6分）
；；；-------（7分）
假設(shè)平面與平面的法向量分別為；，那么
；令
-----------------------------------------------------------------（8分）
同理可以求得： --------------------------------------（9分）

，-------------------------------（11分）
此時，正四棱柱是棱長為1的正方體，且
四棱錐的體積------------------------------（12分）
方法二：過點作于，連接,
容易證得，=--------------------------------------（7分）
所以，且在中，由余弦定理可得：

所以==，又可證得：------------（9分）
,所以在,由等面積法：
=,
即------------（9分）
所以，---------------------------------------------（11分）
此時，正四棱柱是棱長為1的正方體，且
四棱錐的體積-------------------------------------------（12分）