Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足2acosB=2c﹣b．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面積為 ，且a= ，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosB=2c﹣b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC﹣sinB，

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA= ，

∵0＜A＜π，

∴A=

（2）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：

∵由（1）可知A= ，

∴sinA= ，

∴S△ABC= bcsinA= ．解得bc=3，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得b2+c2=6

解得：c= ，b= ，

∴△ABC是等邊三角形

【解析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理化簡已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA= ，結合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．（2）利用特殊角的三角函數值可求sinA，利用三角形面積公式可求bc的值，由余弦定理解得b2+c2=6，從而解得b=c=a= ，即可得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．