Question

存在兩條直線x=±m與雙曲線-=1（a＞0，b＞0）相交于四點A，B，C，D，且四邊形ABCD為正方形，則雙曲線的離心率的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，雙曲線與直線y=±x相交且有四個交點，由此得＞1，結合雙曲線的基本量的平方關系和離心率的定義，化簡整理即得該雙曲線的離心率的取值范圍．
解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴對角線AC、BD所在直線是各象限的角平分線
因此，直線y=±x與雙曲線-=1有四個交點
∴雙曲線的漸近線y=±x，滿足＞1，
即b＞a，平方得：b²＞a²，c²-a²＞a²，可得c²＞2a²，
兩邊都除以a²，得＞2，即e²＞2，
∴e＞，即雙曲線的離心率的取值范圍是（，+∞）
故答案為：（，+∞）
點評：本題給出雙曲線上四個點構成以原點為中心的正方形，求它的離心率取值范圍，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．