Question

已知二次曲線C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；
（2）若雙曲線C_k與直線y=x+1有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；
（3）m、n為正整數，且m＜n，是否存在兩條曲線C_m、C_n，其交點P與點F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)滿足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當且僅當分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當且僅當分母異號時，方程表示雙曲線．
（2）將直線與曲線聯立

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化簡得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0，利用雙曲線C_k與直線y=x+1有公共點，可確定k的范圍，從而可求雙曲線的實軸，進而可得雙曲線方程；
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是橢圓，C₅，C₆，C₇，C₈是雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點，從而可求．

解答：解：（1）當且僅當

9-k＞0 4-k＞0 9-k≠4-k

⇒k＜4時，方程表示橢圓；----（2分）
當且僅當（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9時，方程表示雙曲線．---（4分）
（2）

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化簡得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）
△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）
雙曲線的實軸為2

9-k

，當k=6時，雙曲線實軸最長為2

3

此時雙曲線方程為

x2

3

-

y2

2

=1-------（10分）
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是橢圓，C₅，C₆，C₇，C₈是雙曲線，結合圖象的幾何性質
任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間無公共點------（12分）
設|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由橢圓與雙曲線定義及

PF1

•

PF2

=0；

d1+d2=2 9-m |d1-d2|=2 9-n d12+d22=20

所以m+n=8-----（16分）
所以這樣的C_m，C_n存在，且

m=1 n=7

或

m=2 n=6

或

m=3 n=5

-----（18分）

點評：本題以二次曲線為載體，考查二次曲線的性質，考查直線與曲線的位置關系，有一定難度．