Question

平面內有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線互相分割成n²段.

Answer 1

證明：(1)當n=1時，一條直線為一段，又1²=1，命題成立.

（2）假設n=k時，滿足題意的k條直線互相分割成k²段,

則當n=k+1時，k+1條直線中的k條直線互相分割成了k²段，第k+1條直線與另外k條直線都相交，它被這k條直線分成了k+1段，又把k條直線中的每條直線的其中一段分成了2段，因此，共增加了(k+1)+k=2k+1段，所以k+1條直線互相分割成k²+2k+1=(k+1)²段.

∴當n=k+1時，命題成立.

由（1）（2）可知，對一切n∈N^*，命題都成立.