Question

平面內有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成

1

2

（n²+n+2）塊．

Answer 1

證明：（1）當n=1時，1條直線把平面分成2塊，又

1

2

（1²+1+2）=2，命題成立．
（2）假設n=k時，k≥1命題成立，即k條滿足題設的直線把平面分成

1

2

（k²+k+2）塊，
那么當n=k+1時，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，
每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個平面塊．
所以k+1條直線把平面分成了

1

2

（k²+k+2）+k+1=

1

2

[（k+1）²+（k+1）+2]塊，
這說明當n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）知，對一切n∈N*，命題都成立．