Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=2c．
（Ⅰ）求證：tanA=-3tanB；
（Ⅱ）求角C的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式對acosB-bcosA=2c化簡可證明
（Ⅱ）由acosB-bcosA=2c＞0，可知B必是銳角，A是鈍角，由A+B+C=π，及誘導(dǎo)公式，tanA=-3tanB，可得tanC=

2

tanB+ 1 tanB

，利用基本不等式可求C的最大值

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=2c，（2分）
可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2cosAsinB
∴sinAcosB=-3cosAsinB，故tanA=-3tanB；                      （4分）
（Ⅱ）由tanA=-3tanB，可知在A，B中必一個是鈍角，另一個是銳角；     （6分）
假設(shè)B是鈍角，則acosB-bcosA=2c＜0，與已知矛盾，故B必是銳角，A是鈍角，
∵A+B+C=π，
故tanC=-tan(A+B)=

tanA+tanB

tanAtanB-1

，
將tanA=-3tanB代入，得tanC=

2

1 tanB +3tanB

≤

3

3

，（8分）
故C≤

π

6

，當(dāng)且僅當(dāng)3tanB=

1

tanB

，即tanB=

3

3

時等號成立，此時tanA=-

3

，
也即當(dāng)A=

2π

3

，B=

π

6

時，C取得最大值

π

6

．                           （12分）

點評：本題主要考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式在解三角形中的應(yīng)用，兩角和的正切公式的應(yīng)用，及利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．