Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，S_n=kn²+n，n∈N*，其中k是常數．
（I）求a₁及a_n；
（II）若對于任意的m∈N*，a_m，a_2m，a_4m成等比數列，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過求a₁=S₁求得a₁，進而根據當n＞1時a_n=S_n-S_n-1求出a_n，再驗證求a₁也符合此時的a_n，進而得出a_n
（2）根據a_m，a_2m，a_4m成等比數列，可知a_2m²=a_ma_4m，根據（1）數列{a_n}的通項公式，代入化簡即可．
解答：解析：（1）當n=1，a₁=S₁=k+1，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
經檢驗，n=1（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比數列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，對任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．
點評：本題主要考查數列等比關系的確定和求數列通項公式的問題．當分n=1和n＞1兩種情況求通項公式的時候，最后要驗證當n=1時，通項公式是否成立．