Question

設函數．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）在（2）的條件下，設函數，若對于 [1，2]， [0，1]，使成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）單調增區間為;單調減區間為；（3）b的取值范圍是

【解析】

試題分析：(1)由函數當時，首先求出函數的定義域.再通過求導再求出導函數當時的導函數的的值即為切線的斜率.又因為過點則可求出在的切線方程.本小題主要考查對數的求導問題.

（2）當時通過求導即可得，再求出導函數的值為零時的x值.由于定義域是x大于零.所以可以根據導函數的正負值判斷函數的單調性.

（3）由于在（2）的條件下，設函數，若對于 [1，2]， [0，1]，使成立.等價于在上的最小值要大于或等于在上的最小值.由于是遞增的所以易求出最小值.再對中的b進行討論從而得到要求的結論.

試題解析：函數的定義域為，                       1分

                                  2分

（1）當時，，，        3分

，

，                                            4分

在處的切線方程為.                     5分

(2) .

當,或時, ;                              6分

當時, .                                         7分

當時，函數的單調增區間為;單調減區間為.   8分

(如果把單調減區間寫為,該步驟不得分)

（3）當時，由（2）可知函數在上為增函數，

∴函數在[1，2]上的最小值為               9分

若對于[1，2]，≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                         10分

又，

當時，在上為增函數，

與（*）矛盾                      11分

當時，，由及

得，                                             12分

③當時，在上為減函數，

及得.                                           13分

綜上，b的取值范圍是                               14分

考點：1.利用求導求函數的切線方程.2.函數的單調性.3.關于任意與存在相關的不等式的問題.4.區別恒成立問題.