Question

已知橢圓E：=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為F₁，F₂，點P是右準線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段MN上取點H，滿足，試證明點H恒在一定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，設P（3，y），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得，利用斜率計算公式可得k_PQ•k_OQ及代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），由點M，N在橢圓上可得，．
設，則，可得（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即可證明6x+9y為定值．
解答：解：（1）由題意可得，解得，c=1，
所以橢圓E：．
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，
設P（3，y），Q（x₁，y₁），
因為PF₂⊥F₂Q，所以，
所以-y₁y=2（x₁-1）
又因為且代入化簡得．
即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），
則，．
設，則，
∴（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y）
整理得，，
∴從而，
由于，，∴我們知道與的系數之比為2：3，與的系數之比為2：3．
∴，
所以點H恒在直線2x+3y-2=0上．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量運算、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．