Question

設定義在[a，b]（a≥-4）上的函數f（x），若函數g(x)=f(

x+4

+2m)與f（x）的定義域與值域都相同，則實數m的取值范圍為

(-

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8

，-2]

．

Answer 1

分析：令t=

x+4

+2m，由題意知函數t=

x+4

+2m的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4），由于函數t=

x+4

+2m在定義域內為增函數，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，從而可轉化為方程

x+4

+2m=x在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根．構造函數y=

x+4

，y=x-2m，進一步轉化為函數圖象有兩個不同交點，從而得解．

解答：解：令t=

x+4

+2m，由題意知函數t=

x+4

+2m的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4）
又函數t=

x+4

+2m在定義域內為增函數，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，即方程

x+4

+2m=x在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根．
如圖，構造函數y=

x+4

，y=x-2m則可知直線與拋物線相切時，兩函數圖象有一個交點，過點（-4，0）時，有兩個交點．
當直線與拋物線相切時，

x+4

=x-2m，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴m=-

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8

當直線過點（-4，0）時，-4-2m=0，∴m=-2
根據圖象可知，實數m的取值范圍為(-

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8

，-2]
故答案為：(-

17

8

，-2]

點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查數形結合的數學思想，解題的關鍵是轉化為方程

x+4

+2m=x在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根，從而利用數形結合的思想求解．