Question

設定義在[a，b]（a≥-4）上的函數f（x），若函數與f（x）的定義域與值域都相同，則實數m的取值范圍為________．

Answer 1

分析：令，由題意知函數的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4），由于函數在定義域內為增函數，所以，從而可轉化為方程在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根．構造函數，y=x-2m，進一步轉化為函數圖象有兩個不同交點，從而得解．
解答：令，由題意知函數的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4）
又函數在定義域內為增函數，所以，即方程在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根．
如圖，構造函數，y=x-2m則可知直線與拋物線相切時，兩函數圖象有一個交點，過點（-4，0）時，有兩個交點．
當直線與拋物線相切時，，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴
當直線過點（-4，0）時，-4-2m=0，∴m=-2
根據圖象可知，實數m的取值范圍為
故答案為：
點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查數形結合的數學思想，解題的關鍵是轉化為方程在區間[-4，+∞）內有兩個不等的根，從而利用數形結合的思想求解．