Question

已知向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，若

m

⊥

n

，則8x+(

1

16

)y的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：先根據

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，從而求出x，y的等量關系，然后直接利用基本不等式可求出8x+(

1

16

)y的最小值，注意等號成立的條件．

解答：解：∵向量

m

=(-x+1，2)，

n

=(3，2y-1)，

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（-x+1）×3+2×（2y-1）=-3x+4y+1=0，即3x-4y=1，
∴8x+(

1

16

)y≥2

8x•( 1 16 )y

=2

23x•2-4y

=2

23x-4y

=2

2

，
當且僅當8x=(

1

16

)y，即x=

1

6

，y=-

1

8

時取等號；
∴8x+(

1

16

)y的最小值為2

2

．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用以及數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．兩向量垂直可以轉化為兩向量的數量積等于0，也可以運用向量的數量積的坐標運算進行求解．在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值．屬于中檔題．