Question

已知向量

m

=(2cosx，，2sinx)，

n

=(cosx，，

3

cosx)，函數f(x)=a

m

•

n

+b-a（a、b為常數且x∈R）．
（Ⅰ） 當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數a、b，使得當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的值域為[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我們可求出 當a=1，b=2時函數的解析式，根據正弦型函數的性質，即可得到（x）的最小值；
（Ⅱ）由已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，我們可以計算出f（x）的解析式，進而求出函數在區間[0，

π

2

]上的最值，進而根據f（x）的值域為[2，8]，構造關于a，b的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，
 當a=1，b=2時，
函數f(x)=

m

•

n

+1=2cos2x+2

3

sin x•cosx+1=2sin（2x+

π

6

）+2，
當2sin（2x+

π

6

）=-1時，f（x）取最小值0
（II）∵f(x)=a

m

•

n

+b-a=2asin（2x+

π

6

）+b
當x∈[0，

π

2

]時，
f（x）的最小值為-a+b，f（x）的最大值為2a+b，
若f（x）的值域為[2，8]．
則-a+b=2，且2a+b=8，
解得a=2，b=4．

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，正弦函數的值域，其中根據已知中向量

m

=(2cosx，2sinx)，

n

=(cosx，

3

cosx)，結合向量數量積公式，求出函數的解析式，是解答本題的關鍵．