Question

(14分)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x²－y²＝1的右支交于不同的兩點A、B．

(1)求實數k的取值范圍；

(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)－2<k<－．(2) k＝－．

【解析】(1)直線與雙曲線方程聯立消y得關于x的一元二次方程，根據判別式大于零，可求出k的取值范圍.

(2) 解本題的突破口是假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0)，則由FA⊥FB得(x₁－c)(x₂－c)＋y₁y₂＝0，即(x₁－c)(x₂－c)＋(kx₁＋1)(kx₂＋1)＝0，

整理得：(k²＋1)x₁x₂＋(k－c)(x₁＋x₂)＋c²＋1＝0再根據韋達定理解決即可.

(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線方程2x²－y²＝1后，整理得：

(k²－2)x²＋2kx＋2＝0①

解：依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故

，解得－2<k<－．

(2)設A、B兩點的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則由①式得②，

假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(c,0)，則由FA⊥FB得(x₁－c)(x₂－c)＋y₁y₂＝0，即(x₁－c)(x₂－c)＋(kx₁＋1)(kx₂＋1)＝0，

整理得：(k²＋1)x₁x₂＋(k－c)(x₁＋x₂)＋c²＋1＝0③

把②式及c＝代入③式化簡得5k²＋2k－6＝0，解得

k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．

可得k＝－使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點．