Question

（08年周至二中四模理）( 14分)

直線l:ax－y－1=0與曲線C：x²－2y²=1交于P、Q兩點，

(1)當實數a為何值時，|PQ|=2.

(2)是否存在a的值，使得以PQ為直徑的圓經過原點？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解析：(1)設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),,      ∴(1－2a²)x²+4ax－3=0.

若1－2a²=0,即a=±時，l與C的漸近線平行，l與C只有一個交點，與題意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,    ∴－＜a＜.

  (*)        ∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2.

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4.     ∴(－)²－4=4.

∴a=±1∈(－,).

∴所求的實數a的值為a=±1.                                                                          6分

(2)假設存在實數a,使得以PQ為直徑的圓經過原點O，則由OP⊥OQ，得y₁?y₂=－x₁?x₂.

∴(ax₁－1)?(ax₂－1)=－x₁?x₂,

∴(1+a²)x₁?x₂－a(x₁+x₂)+1=0.                                                                          10分

把(*)式代入得：a²=－2與a為實數矛盾，

∴不存在實數a使得以PQ為直徑的圓經過原點.                                              10分