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(2013•德州一模)已知各項均不相等的等差數列{an}的前5項和S5=35,又a1+1,a3+1,a7+1成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設Tn為數列{
1
Sn
}
的前n項和,問是否存在常數m,使Tn=m•[
n
n+1
+
n
2(n+2)
]
,若存在,求m的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)由已知可得(a3+1)2=(a1+1)(a7+1),然后由s5=35,結合等差數列的通項公式及求和公式可求a1,d,進而可求通項
(2)由(1)可求sn,然后利用裂項求和即可求解
1
sn
,代入已知式子即可求解滿足題意的m
解答:解:(1)∵a1+1,a3+1,a7+1成等比數列
(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)
(a1+1+2d)2=(a1+1)(a1+6d+1)
整理可得,a1+1=2d①
∵s5=5a1+10d=35②
聯立①②可得,a1=3,d=2
∴an=3+2(n-1)=2n+1
(2)由(1)可得,sn=3n+
n(n-1)
2
×2
=n(n+2)
1
sn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)

Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n+1
+
1
n
-
1
n+2
)

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=
3
4
-
2n+3
(n+1)(n+2)
×
1
2

Tn=m•[
n
n+1
+
n
2(n+2)
]

3
4
-
2n+3
2(n+1)(n+2)
=m•
n(3n+5)
2(n+1)(n+2)

整理可得,m=
1
2

∴存在常數m=
1
2
,使Tn=m•[
n
n+1
+
n
2(n+2)
]
成立
點評:本題主要考查了等差數列的通項公式、求和公式及等比數列的性質的應用,還考查了數列的裂項求和方法的應用,屬于中檔試題
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